Discussion:Série (mathématiques)

Désolé pour cette dernière correction, mais les séries alternées dont le terme général décroît (en valeur absolue) sont connues comme convergentes, les autres pas nécessairement ! Voir par exemple la série de t.g. (-1)^n, qui diverge. Je reviens donc à la version antérieure. KMan 22 jan 2005 à 10:33 (CET)

J'ai édulcoré le passage qui disait que les fonctions les plus importantes étaient développables, etc. A l'heure actuelle, l'échelon de Heaviside, la fonction valeur absolue, une fonction indéfiniment dérivable à support compact, les indicatrices d'intervalle, etc. sont des fonctions très importantes. CD 7 fev 2005 à 16:10 (CET)

Bien d'accord avec cette modif ! KMan 8 fev 2005 à 17:55 (CET)

formules sommatoires

Je verrais bien dans cet article un paragraphe sur les formules sommatoires, telles que la formule d'Euler-Maclaurin ou la formule sommatoire d'AbelClaudeh5 25 juin 2006 à 08:23 (CEST)

séries divergentes

sommation par les moyennes de Césaro, le procédé de Borel, ...Claudeh5 25 juin 2006 à 08:23 (CEST)

+ d'exemples

Que penseriez-vous d'ajouter quantité d'exemples de séries convergentes ou divergentes, qui utilisent les différentes règles suivis de la démonstration, à la fin de l'article ? Et aussi de mettre la démonstration des différentes règles Je pense que ce qu'une encyclopédie papier doit éviter, sans quoi il faudrait un hangar pour la contenir, Wikipédia peut le faire ! Je suis très nouveau sur Wikipédia (je me suis inscrit hier!), donc j'attends un peu avant de me lancer dans des modifs ...Xinos

Plutôt qu'alourdir avec des exemples, pourquoi ne pas créer une page d'exercices dans le wikibook b:Exercices de mathématiques? HB 2 janvier 2006 à 23:42 (CET)

: pas d'accord, il faut mettre quelques exemples (ou plutôt contre-exemples) typiques, pas trop bien sûr

Jaclaf (discuter) 15 octobre 2015 à 11:33 (CEST)

L'article série convergente devrait peut-être être fusionné. Xinos

exemples

Je serais d'accord pour ajouter des exemples, en particulier les sommes de k, k^2... et la méthode pour trouver les sommes de k^i, pour i entier. Mais je ne suis pas sûr que ce soit le bon article, alors si quelqu'un pouvait me le confirmer on pourrait peut-être ajouter cet exemple dans la partie 2.

• ces sommes portent globalement le nom de formule de Bachet de Meziriac. Cela risque d'alourdir sérieusement l'article et pour peu de chose en somme.Claudeh5 25 juin 2006 à 08:20 (CEST)
  • Il faudrait créer un article pour cette formule, non ?

Proposition de plan

Il existe un article série convergente ; il serait bon d'harmoniser le contenu de ces deux articles. Voici ce que je propose

• l'article série présente les grands principes : définition des séries et de la convergence, exemples, opérations sur les séries (somme, produit de Cauchy). Explication des défauts de cette soi disant "somme infinie" (commutativité, associativité, distributivité) et ouverture vers d'autres types de sommes infinies (famille sommable, procédé de sommation).

• l'article série convergente présente le critère de Cauchy, la convergence absolue et les différentes règles qui méritent chacune un article dédié (règle de Cauchy, règle de d'Alembert, règle de Leibniz = TSA, comparaison série-intégrale).

• un article série de fonctions spécifique semble utile pour présenter les différents types de convergence et les implications.

• un article Calcul numérique d'une somme de série semble utile

Peps 27 juillet 2006 à 15:08 (CEST)

J'ajoute au passage que dans l'article série de fonctions, il ne faut pas oublier que les variables aléatoires sont des fonctions et donc en plus de la convergence normale, il faut ajouter la convergence presque sûre, la convergence en probas, la convergence L^p, et les implications ...

Il serait bien que plus d'aspects historiques soient abordés dans les articles de mathématiques !

Ektopalstor, 27 juillet 2006, 15:30 CEST

Madhava et les séries mathématiques

Concernant l'apport de Madhava sur les séries, la demande de sources est légitime car le texte actuel mélange fait avéré et affirmations plus douteuses. Il est facile de trouver des sources sur le fait que Madhava a découvert un développement en série de pi/4, de sin x et cos x et qu'il a utilisé ces séries pour calculer une approximation de pi et construire des tables de sinus et cosinus (voir RG Gupta, [1] par exemple), qu'il soit le premier me parait une affirmation à supprimer. Quant aux critères de convergence, les historiens sérieux n'en parlent pas, mais j'ai trouvé cet article qui attribue à son école (lui ou ses élèves) les critères de convergence. Mais je n'ai rien trouvé encore sur la majoration de l'erreur commise. HB (d) 5 octobre 2011 à 12:13 (CEST)

Une IP avait supprimé le paragraphe ce qui, bien que n'y connaissant pas grand chose, m'avait semblé abusif, étant donné qu'il y a bien à parler de Madhava. J'ai transformé en refsou, non pour légitimer le texte, mais pour éviter un autre effacement complet, conscient que le fait d'avoir une ref aboutirait comme très souvent à une reformulation en fonction de celle-ci. Si tu penses que refnec est mieux, ou si tu veux effacer ce qui te semble douteux, n'hésite pas. Il est sûr que quelque chose d'un peu plus précis que le résumé d'histoire des math. d'un bouquin de philo serait mieux. Proz (d) 5 octobre 2011 à 18:56 (CEST)

Schéma concernant les séries convergentes, les familles sommables, etc.

Voir sur la page de discussion des familles sommables (ça concerne les deux sujets, mais la page «Familles sommables» semble désertée, alors je mets un cuicui ici). David Olivier (d) 20 février 2012 à 20:34 (CET)

Définitions

Bonjour.

Une définition serait la bienvenue en intro. C'est quoi, une série ?

Merci.

--Nnemo (discuter) 27 septembre 2015 à 22:09 (CEST)

Merci à  HB qui a enrichi l'article avec une définition.

Maintenant, c'est clair. :-) Enfin, sauf quand on arrive à cette histoire de « somme de série ». Je lis dans l'article :

« La somme de la série est alors cette limite, si elle existe. »

Gni ? Il me semble qu'il s'agit ici simplement de la limite de la série. Selon la définition de  HB, la série est une somme. « La somme de la série » serait la somme de la somme. Cela semble incohérent.

Cette histoire confuse de « somme de série » se répète au long de l'article.

Par exemple :

« sans modifier ni la convergence ni la valeur de la somme de la série »

Pour moi, c'est à corriger en : « sans modifier ni la convergence ni la limite de la série ». C'est plus simple, non ?

Qu'en pensez-vous ?

-- Nnemo (discuter) 27 septembre 2015 à 22:16 (CEST)

Bonjour Nnemo. Le vocabulaire est ainsi fait. La somme de la série, c'est la limite de la suite des sommes finies appelées sommes partielles. Comme cette limite est notée à l'aide d'une somme (assez logiquement au vu du terme général de la suite dont elle est la limite), cette limite est appelée somme de la série. Cela sous-entend somme totale, par opposition aux sommes partielles. Mais cette terminologie n'est pas modifiable, elle est employée par tous les auteurs, je pense. Cordialement, Asram (discuter) 27 septembre 2015 à 22:53 (CEST)

Bonjour  Asram. Merci pour l'explication. C'est absurde. J'ai enfin compris ce qu'est une série. Mais franchement les maths sont plus claires et plus accessibles quand on utilise un vocabulaire sensé et cohérent — ce qui en général est le cas. -- Nnemo (discuter) 13 octobre 2015 à 11:51 (CEST)

 Asram. La série est déjà une somme. -- Nnemo (discuter) 13 octobre 2015 à 11:55 (CEST)

Asram a raison, mais par contre la "définition" donnée dans l'article, qui identifie "série" avec la suite de ses sommes partielles n'a rien d'universelle, elle va effectivement un peu contre l'usage, je ne suis pas du tout sûr que c'ait été une bonne idée de la choisir (peut-être certains ouvrages le font, certainement pas tous), surtout dès le résumé introductif. D'ailleurs le premier paragraphe en donne une autre assez formaliste mais moins gênante. Personnellement je ne l'adopterais pas dans un cours. Ca me paraît une définition "pour se débarrasser du problème", mais que l'on n'utilise pas en réalité (je ne pense pas que l'on remplace "suite des sommes partielles" par "série"). Par contre tout le monde sera d'accord sur ce que signifie étudier une série de terme général (u_n), et que cela met en jeu la suite des sommes partielles, c'est plutôt cela dont il faut parler en résumé introductif. Proz (discuter) 13 octobre 2015 à 16:38 (CEST)PS. J'ai maintenant reformulé pour qu'il n'y ait plus ce problème.

 Proz. La définition de série ne te plaît pas. Pour toi, quelle serait la définition de série ? --Nnemo (discuter) 17 octobre 2015 à 09:56 (CEST)

Je ne suis pas sûr de bien comprendre la question (quelle définition ?): en résumé introductif j'ai remplacé ce qui était présenté comme une définition par quelque chose d'un peu moins formel et que l'on trouve ainsi (ou tourné un peu autrement) dans plusieurs livres (pas seulement celui que j'ai mis en référence). Le présenter comme une définition formelle a l'inconvénient que dans l'usage la série de terme s_n n'est pas synonyme de "suite de ses sommes partielles S_n", on ne peut pas substituer l'un à l'autre, comme le montre l'échange que tu as eu avec Asram, ce qui devrait être le cas si c'était une définition. La définition formelle que l'on trouve au début de la section "Séries numériques" comme couple de suites n'est pas indispensable à mon avis mais on la trouve au moins dans le Ramis et al donné en ref. (ou suite de couples, c'est à peu près la même chose), sûrement ailleurs, et elle ne contredit pas l'usage (même si de fait on ne l'utilise pas vraiment). Ce qui fait la différence sur le fond c'est que quand on parle de série (versus suite) on a un point de vue différent, des méthodes différentes, etc.Proz (discuter) 17 octobre 2015 à 17:16 (CEST)

Merci  Proz. Pour clarifier ma question : C'est quoi, une série ? Hélas, l'article actuel ne répond même pas à cette question dans son intro. C'est pourtant la base de ce que l'on attend d'un article dans une encyclopédie. :-) Je crois que, précédemment, l'article répondait à cette question. --Nnemo (discuter) 16 juillet 2016 à 14:17 (CEST)

Les mots 'série' et 'suite indéfinie' sont synonymes.

Toutes les problèmes avec la définition de notion 'série' sont disparus, quand on lit et suit Cauchy, Cours d'analyse p.123: "On appelle série une suite indéfinie de quantités..." .
Dans cette interprétation les mots 'série' et 'suite indéfinie' sont synonyme.
Mais........ la tradition (mondiale) dit, quand il s'agit de l'existence ou de la valeur de la limite de la suite des sommes partiales d'une suite (a_i), on choisit 'série' au lieu de 'suite' à indiquer cette (a_i).
En outre, en ce cas on dit 'convergente' au lieu de 'sommable', et on écrit   a₁ + a₂ + a₃ + ...   ou   Σ_i a_i   au lieu de
a₁, a₂, a₃, ...   pour indiquer (a_i).
Voir aussi (texte en l'anglais)--Hesselp (discuter) 23 janvier 2016 à 00:40 (CET)

 Asram et Proz. Merci  Hesselp pour cet éclairage. Je recommande les pages 123 et 124 de Cauchy, c'est assez clair. Selon Cauchy, la série est une suite dont les termes dérivent les uns des autres selon une loi déterminée. Donc la série est une suite. Et cela a un sens de parler de "la somme de la série". Et la série peut être convergente… Je pense que Cauchy est une bonne source pour l'article de Wikipedia. --Nnemo (discuter) 16 juillet 2016 à 14:55 (CEST)

tout cela me semble un peu curieux. Nous sommes au XXIème siècle. Cauchy tatonnait, ce qui était inévitable, même pour un mathématicien de cette trempe.
Il est vrai que peu de livres donnent une déf satsifaisante et on tombe vite dans le formalisme. Cela étant dit il ne faut pas perdre de vue que nous avons une responsabilité envers les étudiant(e)s qui consultent wp ; j'en ai vu énormément dans ma carrière qui confondent suite et série. Je vous (pluriel) invite à consulter l'article de Jean-Pierre Kahane Nécessité et pièges des définitionsen particulier les pages 100 à 102 (Université de tous les savoirs, volume 4, Qu'e'st-ce que l'unviers, éditions Odile Jacob. Cordialemenrt

Jaclaf (discuter) 17 juillet 2016 à 10:43 (CEST)

Deux questions

Jaclaf (et Asram, Proz, Nnemo)   I. Jaclaf dit: "Il est vrai que peu de livres donnent une déf satisfaisante....". Est-ce possible de donner moi UN seul titre d'un livre de la sorte? (à côté de Cauchy - Cours d'Analyse p. 123).

II.   Par hasard j'ai trouvé la phrase suivante, ici (Escalier de Cantor):

Alors on vérifie que pour tout $x,\vert f_{n+1}(x)-f_{n}(x)\vert \leq 2^{-n}$, ce qui montre que  la série de fonctions $\color {Blue}\sum _{n=0}^{\infty }(f_{n+1}-f_{n})$ converge uniformément, et donc que la suite $f_{n}$ converge uniformément.

Question: Quelle(s) de cettes variantes 2 - 10 peut(peuvent) remplacer le no. 1 sans change de signification? Et pourquoi?

1.   la série de fonctions $\sum _{n=0}^{\infty }(f_{n+1}-f_{n})$
2.   la suite de fonctions $\sum _{n=0}^{\infty }(f_{n+1}-f_{n})$
3.   la série de fonctions $\ {\Bigl (}\,\sum _{i=0}^{n}(f_{i+1}-f_{i})\ {\Bigl )}_{n=0}^{\infty }$
4.   la suite de fonctions $\ {\Bigl (}\,\sum _{i=0}^{n}(f_{i+1}-f_{i})\ {\Bigl )}_{n=0}^{\infty }$
5.   la série de fonctions $\ (f_{1}{-}f_{0})+(f_{2}{-}f_{1})+(f_{3}{-}f_{2})+\cdots$

6.   la suite de fonctions $\ (f_{1}{-}f_{0})+(f_{2}{-}f_{1})+(f_{3}{-}f_{2})+\cdots$

7.   la série de fonctions $\ f_{1}{-}f_{0},\ f_{2}{-}f_{0},\ f_{3}{-}f_{0},\ \cdots$
8.   la suite de fonctions $\ f_{1}{-}f_{0},\ f_{2}{-}f_{0},\ f_{3}{-}f_{0},\ \cdots$

9.   la série de fonctions $\ {\bigl (}f_{n}{-}f_{0}{\bigl )}_{n=0}^{\infty }$

10.  la suite de fonctions $\ {\bigl (}f_{n}{-}f_{0}{\bigl )}_{n=0}^{\infty }$

Je répète Jaclaf: "... j'en ai vu énormément dans ma carrière qui confondent suite et série."   La différence s'agit.................?? -- Hesselp (discuter) 3 octobre 2016 à 10:27 (CEST)

question 1 : je vous renvoie à nouveau à Kahane ! sinon regardez plutôt un cours de prépa je n'en ai malheureusement pas sous la main pour vous garantir qqch

question 2 : Bonjour et merci pour votre question. D'une façon un peu lapidaire les formulations 1 et 5 sont tout à fait correctes. Pour la 3, on comprend ce que ça veut dire, c'est maladroit : on n'a pas à faire figurer deux fois les indices de sommation

2, 4 6 appelle suite ce qui est une série 7 on appelle série ce qui est une suite

grosso modo suite : à chaque entier on associe un nombre

série : on ajoute un par un les nombres d'une suite

il faut aussi faire attention aux notations

8 a un sens (décrit bien une suite de nombres) mais c'est autre chose que 1.

Une info qui pourrait vous aider : une technique possible pour montrer la convergence d'une suite $(u_{n})_{n\geq 0}$ est de montrer la convergence de la série $\sum _{n=0}^{\infty }(u_{n+1}-u_{n})$ si cette dernière série converge, sa somme est $l-u_{0}$ où l est la limite de la suite. cette remarque pourrait d'ailleurs figurer dans l'article Jaclaf (discuter) 3 octobre 2016 à 11:35 (CEST)

    Jaclaf,   Merci pour votre réponse très vite.
Le mot 'suite' n’est pas une problème pour moi: c’est  une succession des éléments (nombres ou ....) avec un premier élément. Ou: une fonction avec les entiers comme domain.
Et le mot 'série' est un synonyme de 'suite' (peut-être un peu archaïque?).
Personne a donné une autre signification compréhensible (pour moi, *1942). Voir cette liste de 31 efforts variées à définier 'série'(en anglais, partie d'une discussion en hollandais).

Votre version: "l’activité à ajouter un à un les nombres d’une suite", ce ne s’agit pas un objet mathématique, n’est-ce pas?
C’est la même chose avec la 'déf' de James Stewart:  "If we try to add the terms of an infinite sequence, we get.......an infinite series."   Quand j’essaie moi-même, j’obtiens seulement une migraine grave après quelques heures.
Série divergente, c’est  "l’activité à ajouter à manière divergente un à un les............"?
Série harmonique, c’est  "l’activité à ajouter harmonieusement un à un les............"?   Etcetera.
Produit de deux séries( A, B), c’est  "le produit de deux activités” ?   Ou “l’activité à ajouter un à un les nombres de la suite qui est formé à manière.....des deux suites associé avec les deux activitées A, B" ?

"il faut aussi faire attention aux notations"
Quand on réduit la forme no. 1 comme ci:

(1)   $\sum _{n=0}^{\infty }(f_{n+1}-f_{n})$   =
    (3)  $\ {\Bigl (}\,\sum _{i=0}^{n}(f_{i+1}-f_{i})\ {\Bigl )}_{n=0}^{\infty }$   =
        (3a)   $\sum _{i=0}^{0}(f_{i+1}-f_{i})\ ,\ \ \ \sum _{i=0}^{1}(f_{i+1}-f_{i})\ ,\ \ \ \sum _{i=0}^{2}(f_{i+1}-f_{i})\ ,\ \cdots$   =

            (3b)   $\ f_{1}{-}f_{0},\ \ \ f_{1}{-}f_{0}+f_{2}{-}f_{1},\ \ \ f_{1}{-}f_{0}+f_{2}{-}f_{1}+f_{3}{-}f_{2},\ \ \cdots$   =

               (8)     $\ f_{1}{-}f_{0},\ \ \ f_{2}{-}f_{0},\ \ \ f_{3}{-}f_{0},\ \ \cdots$   =

                   (10)   $\ {\bigl (}f_{n}{-}f_{0}{\bigl )}_{n=0}^{\infty }$

une série est transformé dans une non-série. (?)
Mais.....une reduction correcte ne change pas l’object mathématique, seulement la manière de noter.   Donc: 'série' est le nom d’une forme, pas d’une object mathématique (comme 'suite'). N'est-ce pas? -- Hesselp (discuter) 4 octobre 2016 à 11:06 (CEST)

Cette réduction ne veut absolument rien dire. Essayez donc de la justifier en justifiant chaque étape par une petite justification écrite en français! ... ou encore de trouver des sources où on la fait ... Jaclaf (discuter) 4 octobre 2016 à 13:49 (CEST)

Quelles de ces cinq étapes ne sont pas justes selon votre opinion; vous voulez voir des sources pour des reductions comme $\ f_{1}{-}f_{0}+f_{2}{-}f_{1}\ =\ f_{2}{-}f_{0}\$?   Et  "on ajoute un par un les nombres d'une suite"  est une description très claire d'un object mathématique? -- Hesselp (discuter) 4 octobre 2016 à 16:48 (CEST)

Voila ce qu'on peut dire à propos de l'exemple que vous citez. Par définition de la somme d'une série

$\sum _{n=0}^{\infty }(f_{n+1}-f_{n})=\lim _{N\rightarrow +\infty }\sum _{n=0}^{N}(f_{n+1}-f_{n})$
Comme $\sum _{n=0}^{N}(f_{n+1}-f_{n})=f_{N+1}-f_{0}$ on voit que

$\sum _{n=0}^{\infty }(f_{n+1}-f_{n})=(\lim _{N\rightarrow +\infty }f_{N})-f_{0}$ donc que la convergence de la série $\sum _{n=0}^{\infty }(f_{n+1}-f_{n})$ équivaut à celle de la suite $(f_{n})_{n\geq 0}$ Jaclaf (discuter) 5 octobre 2016 à 21:29 (CEST)

Votre explication me semble correcte. Mais je ne vois pas un éclaircissement concernant le mot (l'objet? la notion?) série. On peut dire aussi: "Mais cela ne dit nullement que les notions de suite et de série NE sont PAS synonymes."
Je retourne à ta texte Escalier de Cantor. Je pense qu'on peut remplacer    
la série de fonctions $\sum _{n=0}^{\infty }(f_{n+1}-f_{n})$     par    la suite de fonctions $\ {\Bigl (}\sum _{i=0}^{n}(f_{i+1}-f_{i}){\Bigl )}_{n=0}^{\infty }$   sans aucune perte.   D'accord?
Et donc reste ma question: pourquoi introducer dans la texte de Escalier de Cantor, le mot 'série' et le symbole $\scriptstyle \sum _{n=0}^{\infty }(...)$ ?   Avec (au moins?) la suggestion que ce concerne qqch différente; ce confond les lecteurs. -- Hesselp (discuter) 6 octobre 2016 à 16:39 (CEST)

Qui a raison?   La réponse de Jaclaf de 3 octobre 2016 à 11:35 (CEST) dit que l'expression (la forme) $\ {\Bigl (}\,\sum _{i=0}^{n}(f_{i+1}-f_{i})\ {\Bigl )}_{n=0}^{\infty }$ (no. 4),  n'est pas une suite mais une SÉRIE.
La texte de 'Série (mathématiques)' dit - après 'Séries numériques' -:  deux SUITES  $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$   et   $\left(\sum _{k=0}^{n}x_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }\ .$
Qui a raison? -- Hesselp (discuter) 4 octobre 2016 à 23:13 (CEST)

les deux usages existent, le premier est plus professionnel, le second plus scolaire, mais aucun des deux ne sous-entend que suite et série c'est la même chose.Jaclaf (discuter) 5 octobre 2016 à 21:29 (CEST)

Jaclaf,   Est-ce possible de me montrer des sources/exemples où une expression comme   (..)_n=1^∞   ou   (..)_nεΝ   ou   (..)_{n= 1,2,…}   est utilisé/choisi pour qqch nommé 'série' ?   Je ne peut pas trouver des exemples moi-même.
C'est m'intéresse; peut-être ce peut aider moi à découvrir la difference éventuelle entre  série  et  suite ,   et entre  série de terme général x_n  et  suite des sommes partielles d'une suite (x_n) . -- Hesselp (discuter) 6 octobre 2016 à 16:39 (CEST)

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ \$ou$\ \ \sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}\ ?$

L'expression $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\ \$est une manière de noter la limite de la suite $\ a_{1},\ \ a_{1}{+}a_{2},\ \ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\ \cdots \$.
Il n'y a aucune raison à écrire $+\infty$.   Ici $\infty$ est un signe pour "sans fin".  Oui?   Le "+" est ajouté (sans motif) par Aldébaran, 29 décembre 2005. -- Hesselp (discuter) 5 octobre 2016 à 15:47 (CEST)

À confirmer, mais il me semble que la version avec "+" est plus francophone et sans, anglophone. Certes, ça ne change pas grand chose, mais comme on cause français par ici, peut-être mieux veut privilégier la version avec. Kelam (discuter) 5 octobre 2016 à 17:12 (CEST)

Merci beaucoup, Kelam, pour cette réponse. Je (hollandais) ne savait pas cette habitude/usage francophone à écrire $+\infty$. Cependant j'ai vu à une dizaine d'articles concernant les "séries" que le $+\infty$ est usuel.
Et j'ai vu aussi - très intéressant pour moi - qu'il y a normal à écrire $\ \sum _{n\geq 0}a_{n}\$ ou peut-être $\sum _{n=0,1,\cdots }$ pour la suite $\ a_{0},\ \ a_{0}{+}a_{1},\ \ a_{0}{+}a_{1}{+}a_{2},\ \cdots \$.   Et la forme avec $+\infty$ pour la limite de cette suite.   Cette différence importante on ne voit pas dans des textes en anglais, allemand et hollandais, malheureusement. Voir ici. -- Hesselp (discuter) 5 octobre 2016 à 20:54 (CEST)

Question:   Il y a des objections (?) contre l'usage conséquent dans la texte de l'article (et de la pdd ici) d'écrire
$\sum _{n\geq ..}..$  pour l'objet (le notion) nommé 'série'   et   $\sum _{n=..}^{+\infty }..$  pour le nombre nommé  'somme de la série'  ou   'somme de la suit'   ou   'limite de la suite des sommes partielles d'une suite' ?
Pourquoi, Anne Bauval, vous dites: "cette notation ($\scriptstyle \sum _{n\geq ..})$ n'a de sens qu'en cas de convergence inconditionnelle" ? Je ne comprends pas cela. La variété de notations n'aide pas qui cherche la différence entre 'série' et 'suite'. -- Hesselp (discuter) 6 octobre 2016 à 20:09 (CEST)

Retour sur la question de la définition

Quelques sources

Pour le grand classique qu'est Piskounov, Calcul différentiel et intégral, traduit du russe et disponible aux éditions Ellipses, une série est une expression $u_{0}+u_{1}+....+u_{n}+...$

C'est aussi le point de vue de deux mathématiciens illustres, Walter Rudin (Principles of Mathematical Analysis) et Serge Lang. A l'attention des pinailleurs : Lang discute brièvement les notations, admet les deux notations $\sum u_{n}$ et $\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}$, le choix dépendant de l'information que l'on veut transmettre.

Jean Dieudonné (Fondements de l'analyse moderne) adopte le point de vue "des deux suites" (suite formée du terme général + suite des sommes partielles). Roger Godement aussi, mais de façon "moins militante". Dans son Analyse mathématique I le par. 6 du ch.2 (langage des séries) commence par une page d'explications que je recommande à ceux qui croient que suite et série sont synonymes

Enfin, dans le cours d'Analyse de Lelong-Ferrand et Arnaudiès, il est dit qu'il s'agit de donner un sens à l'expression $\sum _{i\in I}u_{i}$ mais il n'y a pas de définition "formelle" des séries.

Le point de vue d'un grand spécialiste des séries de Fourier

J'ai cité plus haut dans cette PPD l'article de Jean-Pierre Kahane Nécessité et pièges des définitions mathématiques en particulier les pages 100 à 102 (Université de tous les savoirs, volume 4, Qu'est-ce que l'univers, éditions Odile Jacob).

Il discute sur deux pages la définition d'une série. Voici de larges extraits :

Or il y a des définitions malvenues, inutiles ou même nuisibles. Je m'en tiendrai à un exemple, la définition des séries....les ouvrages d'enseignement et les dictionnaires donnent la définition suivante : on appelle série un couple de deux suites $(u_{n})$ et $(s_{n})$, liées par la relation $s_{n}=u_{1}+u_{2}+...u_{n}$ ; la première suite est celle des termes, la seconde celles des sommes partielles. ...Cette définition sonne bien, mais elle est mauvaise ...elle ancre l'idée que la seule chose qui importe pour une série c'est qu'elle diverge ou qu'elle converge.

Suit une discussion qui évoque les procédés de sommation, les séries asymptotiques, les séries de Fourier.

Il conclut

Alors qu'est-ce qu'une série ? Pour moi c'est une somme infinie à laquelle on s'efforce de donner un sens ... une somme infinie à laquelle on s'efforce de donner une valeur. Cette valeur peut être définie sans ambiguïté si tous les termes sont positifs ou s'ils forment une famille sommable. Sinon, tout dépendra du procédé de sommation...il y a matière à plusieurs définitions mathématiques (séries formelles, procédés de sommation, familles sommables), mais je ne donne pas de définition mathématique de la série.

Jaclaf (discuter) 7 octobre 2016 à 16:32

Réponse à Jaclaf, Anne Bauval   Merci Jaclaf des sources variées, avec extraits intéressants. (Et Merci Anne Bauval des corrections très minutieuses, parfois les aidaient moi á comprendre mieux.)   Quelques remarques:
- La question n'est pas, à mon avis, quoi EST une série (il n'existe pas un oracle omniscient), mais: est-ce possible à trouver la signification de ce mot où un/une auteur a choisi ce mot dans une texte mathématique. (Et à décrire cette signification avec une phrase claire!)
- La phrase "série = couple (a_n; s_n)"  n'est pas de la deuxième sorte (voir Kahane). Mes sources les plus ancien de cette "définition" sont: 1956 R.C(reighton) Buck, Advanced calculus;   1958 Zamansky, Introduction à l'algèbre et l'analyse modernes;  et alors 1960 Dieudonné (anglais).
- Les textes de Rudin et de Godemont (2004, anglais) je retrouvais dans mes archives. (Godemont s'abstiens de montrer une définition.)
- Hier j'ai trouvé une source très intéressante (pour moi).   https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Series 2004.   Après une douzaine de lignes comme d'habitude, je lis: From this point of view the study of series is equivalent to the study of sequences: For any statement about series one can formulate an equivalent statement about sequences. (auteur ??).   La seule différence je vois entre un (une?) "statement about series" et un/une "statement about sequences" est la substitution de 'convergent' par 'sommable' (et 'divergent' par 'non-sommable').   Je recommande cette phrase à ceux qui ne croient pas que suite et série sont synonymes. ;). -- Hesselp (discuter) 9 octobre 2016 à 12:20 (CEST)

Série = suite de nombres · · · · converger ≠ converger

With apologies for not using French.

Trying to find a proper description of how the word series is used in non-tutorial texts on calculus, my result is this:

When the sum-sequence of an infinite succession of numbers – given by a law – is studied (its clustering and limit), the succession is mostly denoted verbally by series (série, Reihe), and symbolically by a formula with the sigma sign or with plusses between the first few terms.

In case the succession is indeed denoted by series, there is a worldwide convention to interprete the adjective 'convergent' (or forms of the verb 'to converge') as 'clustering of sums'. And when verbally denoted by sequence (suite, Folge) or progression or succession, as 'clustering of terms' .

Isn't this enough for a math student for the rest of his/her life? Maybe with mentioning alternative descriptions as in:

+ Contemporary books in English, mostly saying that series stands for an expression of a certain kind (in fact: two - or more? - different kinds). Whereas nobody untill now has explained how an expression can converge.

+ Contemporary books in French, mostly not giving a meaning for the word Série or Séries in the title of the chapter, but posing instead that the phrase la série de terme générale x_n (la série-tg), should be seen as equivalent with la suite des sommes partielles de la suite de terme générale x_n (la suite-sp) .

Without telling that this equivalence is quite weak, for:

<somme de la suite-sp> is not equivalent with <somme de la série-tg> ;

<termes de la suite-sp> is not equivalent with <termes de la série-tg> ;

<reste d’indice n de la suite-sp> is not equivalent with <reste d'indice n de la série-tg> ;

you cannot say: <UNE série (de terme générale u_n)>, for a given sequence has only ONE sequence of partial sums.

+ Books in several languages with Dieudonné's (and Bourbaki's): on appelle série le couple d’une suite et sa suite des sommes partielles. In my eyes, a curious way to say: a succession of numbers is often called series when (the clustering and the sum of) its sequence of partial sums is at stake.

Short history of the word 'convergent'

Long ago, the verbal designation by 'convergent series' of a succession of numbers, could mean (e.g. by Gauß): clustering of the terms at limit zéro. After Cauchy's Cours d'Analyse (1821) it meant, and still means, always: clustering of the partial sums of the sequence.

Unfortunately, during the first decades of the 20th century, a second meaning of 'convergent' came into use: clustering of the terms of a succession, in case the succession is not designated by series but by sequence, progression, succession or else. Needless to say that it will be difficult to define "series" when you're not aware of the double-meaning of 'convergent' .

To what extend there will be agreement with the above-mentioned? Hesselp (discuter) 9 janvier 2023 à 23:12 (CET)

Facilité de calcul des sommes partielles

 Fschwarzentruber : je ne suis pas à l'origine de ce passage mais je pense qu'il faut le comprendre dans son contexte. Je le lis de la façon suivante :

Comme il est possible, par un procédé itératif ( $S_{n+1}=S_{n}+u_{n+1}$), de calculer une somme partielle, si on sait majorer R_n, le calcul de S_n donne une valeur approchée de la somme de la série avec une erreur connue (majoration de R_n). Si tu vois comment le dire plus clairement, n'hésite pas. HB (discuter) 19 novembre 2023 à 17:27 (CET)

OK, merci. Je me suis permis de modifier en conséquence. Fschwarzentruber (discuter) 19 novembre 2023 à 18:15 (CET)

Bonjour,

Je ne suis pas enthousiasmé par l'intro : "une série est grosso modo une somme infinie." Je préfèrerais " la notion de série est l'une des façons de généraliser à une infinité de nombres la notion de somme" (noter que j'ai évité de parler de termes..).

Car pour moi, la bonne notion de somme infinie est celle de famille sommable, dont il faut parler dans l'intro puisqu'il y a un chapitre à la fin.

D'ailleurs, dans ce chapitre , il est dit : "Cette deuxième étape de passage à la limite fait que l'expression « somme infinie » n'est pas correcte pour qualifier les séries" alors que dans l'intro, on dit grosso modo : série = somme infinie... Robert FERREOL (discuter) 20 novembre 2023 à 07:34 (CET)

Merci pour votre remarque. J'ai laissé "une série est grosso modo une somme infinie." car c'est concis et ça donne l'idée générale. J'aime bien votre formulation que j'ai mis en deuxième phrase. N'hésitez pas à modifier bien sûr. Fschwarzentruber (discuter) 20 novembre 2023 à 10:58 (CET)

Je suis également gêné par "une série est... une somme infinie", alors qu'on parle couramment de somme d'une série, ce qui n'aurait pas de sens. C'est au mieux très très simplificateur, à un point qui n'aide pas. Je pense qu'il faut retirer cette phrase. Proz (discuter) 13 février 2024 à 17:15 (CET)

Je ne veux pas changer le RI car c'est un consensus, et je l'aime bien. Mais je veux juste exprimer mon avis sur l'ancien début "une série est grosso modo une somme infinie." C'était un début inspiré de wikipedia anglais, qui va droit au but (grosso modo est une traduction de "roughly speaking"). Même si c'est un peu faux, ça avait l'avantage d'aller droit au but : donner une définition intuitive d'une série. J'aime bien quand un article sur XXX commence par "Le/la/un/une XXX est ....". Là, on a "la notion de XXX permet de..." "la notion de série permet de généraliser...". Mais du coup ça ne dit pas ce qu'est une série, ça n'en donne pas une définition, même floue et un peu fausse car vulgarisée. Mais au moins, on ne dit pas de bêtises et pas confusion avec la somme d'une série. Et après, deux exemples suivent (un peu comme wikipedia allemand) donc le lecteur ou la lectrice est sauvée ! Fschwarzentruber (discuter) 25 février 2024 à 23:24 (CET)

Vessiot: Une suite infini de nombres prend le nom de série lorsq’on . . .

Proposition de phrases d'ouverture

Une suite infinie de nombres prend le nom de série lorsqu’on se propose d’étudier ce que devient, pour n infini, la somme de ses n premiers termes.  On écrit alors les termes de la suite en les séparant par des signes + ^{Note 1},  ou on écrit Σ suivi de la terme générale de la suite. ^{Note 2}
Attention. Depuis Cauchy (1821) ^{Note 3} jusqu’à présent, le combination ′′série convergente′′ veut dire: la limite des sommes partielles de ses termes existe. Et depuis le début du XXe siècle ′′suite convergente′′ dit que ses termes a une limite.

Notes et références
1. Citation de Ernest Vessiot (1865-1952) 1921, 1947.
E. Vessiot, P. Montel, Cours de Mathématiques Générales -Cours de mathématiques générales professé à la Faculté des Sciences de Paris en 1919-1920 - Première partie par E Vessiot, 1921, 1-ière éd. p. 72;  11-ième éd. 1947, p. 72

2. Même avis que Vessiot:
* L. Bieberbach 1928:  Wir legen unseren Betrachtungen eine Zahlenfolge [...] zugrunde und nehmen uns vor, den Summenbegriff auf diese Folge von unendlich vielen Zahlen zu übertragen. Zum Zeichen dieses Vorhabens pflegt man gern die Glieder der Folge durch Pluszeichen zu trennen und von eine unendlichen Reihe statt einer unendlichen Folge zu reden.
Differential- und Integralrechnung, 3. Aufl. 1928, S. 34
* D.A. Quadling 1955, 1968:  When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINITE SERIES. The series is denoted by the symbol  Σu_r ;  no numerical value is associated with this symbol, which is simply a convenient name for the series whose rth term is u_r . 
Mathematical analysis, (first published 1955) reprint 1968, p. 85
* E. Bishop 1967, 1985:   A sequence which is meant to be summed is called a series.
Foundations of Constructive Analysis, 1967.  p. 30
 E. Bishop, D. Bridges, Constructive Analysis, 1985.  p. 31
* H.J. Keisler 1976, 2012:   When we wish to find the sum of an infinite sequence  <a_n>  we call it an infinite series  and write it in the form  a₁+a₂+ . . . +a_n+ . . .
Elementary calculus, 1976, p. 529;  2012, p. 501
* J. Marsden, A. Weinstein 1980:   An infinite series is a sequence of numbers whose terms are to be added up.
Calculus, 1980, p. 540

3. A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse, 1-ière partie, 1821, p. 123.

Plus claire ?

Vessiot n'est-il pas plus clair et spécifique que les Wikipédias actuelles (?) :

• WPde: Eine Reihe ist . . . ein Objekt . . . /// Anschaulich ist eine Reihe . . .

• WPen:  A series is, roughly speaking, . . .

• WPfr:  une série est grosso modo   ///  est l’une des façons de . . . /// La notion mathématique de somme infinie est en soi mal définie.   /// donner une définition formelle d'une série est important. /// Ramis . . . définissent une série . . . comme le couple formé des deux suites /// (note en bas) Ramis . . . définit une série de façon équivalente [!] . . . comme  la suite des couples formés du . . .  .

Des objections ? Hesselp (discuter) 31 janvier 2024 à 20:54 (CET) Hesselp (discuter) 1 février 2024 à 11:53 (CET)

“Plus précisément . . . “

Les mots ‘’Plus précisément’’ (Ligne 11 de l'Article) suggèrent une définition plus précis que 'grosso modo' (ligne 1 de l'Article) de l’objet mathématique nommé 'série'. Mais ce n'est pas le cas. Ce qui suit est une explication de l’action nommé: ‘étudier une série’. Hesselp (discuter) 12 février 2024 à 18:10 (CET)

Je ne pense aps que ce soit un problème : préciser l'usage participe de la définition. Proz (discuter) 12 février 2024 à 19:14 (CET)

“Definition formelle”

Qui peut expliquer la différence entre une “définition” et une “définition formelle” ? (section 'Definitions' de l’Article)

Pour moi, c’est:

• Une definition (de ‘série’) montre ce qu’un auteur veut dire avec le mot 'série' dans un texte de mathématiques.
• Une définition formelle (de 'série') tente décrire un objet non-existant, différent d’une suite indéfini de nombres. Par auteurs de manuels qui ne semblent pas voir que les mots 'convergent' en 'converger' ont acquis, vers 1900, un second sens (concentration des termes, à côte de: concentration des sommes partielles).
  Par ces auteurs, somme infinie est considerée parfois comme une expression d’un type special, et parfois comme le nombre égal au total des termes. Mais ni une expression, ni un nombre peut être convergente/convergent! C’est seulement une suite infinie de termes qui peut être convergente. Et cela de deux façons: au sens de Cauchy (limite des sommes partielles) et au sens de Jules Tannery/Konrad Knopp (limite des termes). Hesselp (discuter) 12 février 2024 à 18:14 (CET)

Le fait est que "série" peut avoir des sens différents et liés. Ces définitions "formelles" ne fonctionnent pas vraiment, au sens où on ne peut pas remplacer dans tous les usages mathématiques, le terme défini "série" par son definiens, mais elles existent, avec chacune leurs inconvénients, et peut-être leurs avantages. D'autres ouvrages, comme celui de Combes que vous venez de faire disparaître, ne s'encombrent pas de telles définitions, et il n'y a pas de raison de les ignorer. Par ailleurs, je suis désolé mais le français de vos interventions sur l'article est beaucoup trop incertain pour qu'on puissent les laisser. Proz (discuter) 12 février 2024 à 19:31 (CET) Par ailleurs je suis d'accord qu'on peut effectivement reprendre et citer Vessiot, qui ne donne pas plus une définition au sens formel d'ailleurs. Proz (discuter) 12 février 2024 à 19:44 (CET)

Je complète et modifie ma réponse donnée ci-dessus trop rapidement. La définition de série comme suite des sommes partielles ne fonctionne notoirement pas formellement (le terme de la série serait une somme partielle), elle est forcément agrémentée d'un point sur le vocabulaire, qu'il faudrait ajouter à cette "définition". En consultant l'historique, sa présence ici résulte en fait d'un interpolation ultérieure de Fschwarzentruber (d · c · b). Originellement c'est celle de Bourbaki (repris par Ramis et al) qui était qualifiée de définition formelle dans notre article.

Par ailleurs le point de vue "donner une définition formelle d'une série est important", qui n'est certainement pas universel puisque beaucoup d'ouvrages ne le font pas, n'est pas attribué et à éliminer ama.

Je pense qu'il faut introduire dans ce paragraphe la définition proposée par Hesselp (d · c · b) (Vessiot etc.), qui porte sur le vocabulaire et le langage plutôt qu'une définition mathématique au sens usuel (ou devenu usuel). Ce n'est pas clair à lire Hesselp, mais j'ai l'impression que la définition qu'il attribue à Tannery et Knopp, résulte en fait d'une confusion entre suite et série, que ne doivent pas faire ces deux auteurs.

Ça ne me paraît pas utile de remonter à Cauchy hors le paragraphe historique, cf. avis de Jaclaf ci-dessus dans #Les mots 'série' et 'suite indéfinie' sont synonymes..

Je ne pense pas qu'on parle jamais de série pour "somme de la série". Mais les notations peuvent donner cette impression. Proz (discuter) 14 février 2024 à 10:50 (CET)

C'est typiquement un article où la page de discussion est plus intéressante que l'article lui-même

Puisqu'il y a plusieurs façons de présenter les séries, il faudrait que notre article mette plus en évidence les différentes présentations quitte (si cela est nécessaire) à indiquer la présentation que qui sera utilisée dans le reste de l'article.

Parmi ces présentations, celle de Vessiot mérite probablement d'être citée (et probablement dans le RI) mais évidemment sans le «attention».

La critique de Kahane, mentionnée par jaclaf, aurait vocation à figurer dans le paragraphe définition

Les remarques personnelles (notion de somme infinie mal définie - importance d'une définition formelle) ont effectivement vocation à disparaitre.

Concernant Cauchy, si on lit bien le langage français et mathématique de XIXe siècle, on doit comprendre « une série est une suite (...) dont on va faire la somme» (somme partielle puis limite d'icelle) On n'est donc pas loin de la présentation de Vessiot. On peut, si l'on veut la mettre dans la partie histoire.

Je pense que présenter une série par l'usage qu'on en fait (la notion de série permet de généraliser la notion de somme à une infinité de nombres.) n'est pas éclairant (d'où ma préférence pour la présentation de Vessiot)

Bon courage Proz, pour arriver à naviguer entre ces avis un peu divergents. Mon avis ne vaut que comme désir d'éclairer sans perturber ton choix final. HB (discuter) 14 février 2024 à 12:31 (CET)

Disons que c'est l'usage qui est probablement l'essentiel, car là-dessus tout le monde s'accorde, au delà des définitions diverses qui dans le détail, ne sont peut-être pas si importantes (mais ceci dit la "définition" de Vessiot c'est un peu une définition par l'usage). Mais bien-sûr il faut présenter celles-ci au moins dans le paragraphe "Définitions". C'est peut-être plus clair si je mets ici un lien vers la version de Hesselp que j'ai annulée pour des questions de forme, mais d'où certaines choses pourraient être récupérées, en particulier les références. Si on avait une référence en français plus récente que Vessiot, qui commence à dater, allant dans le même sens ça ne serait pas plus mal. Proz (discuter) 14 février 2024 à 14:45 (CET)

Je cherche mais plus j'avance plus c'est désespérant, outre la définition avec couple de suites (chez chambadall et sur l'Eencyclopaedia universalis), je trouve  :

• Déschamps-Warusfeld J'intègre - Mathématiques 2eme année Dunod 2001 p. 247 «Soit (u_n) une suite et $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}u_{k}$, pour distinguer l'étude de cette nouvelle suite (S_n) de celle de la suite (u_n), nous dirons que nous étudions la série $\Sigma u_{n}$ de terme général u_n. On note $\sum _{n\geq n_{0}}u_{n}$ la série indexée à partir de n_0 (...).S_n est la somme partielle de la série. On dit que la série converge si la suite (S_n) admet une limite. Cette limite est notée $\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}$ et s'appelle la Somme de la série». S'ensuit une remarque sur le danger de noter cette somme $\sum _{n\in \mathbb {N} }u_{n}$ qui est la notation pour une famille sommable (et une série convergente n'est pas tjs associée à une famille sommable si le terme général n'est pas de signe constant)
• Lelong-Ferrand Arnaudies - 1977 p 254 Soit (u_n) une suite et $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}u_{k}$ la somme des n+1 premiers termes de cette suite. On dit que la série de terme général u_n (ou bien série $\Sigma u_{n}$) est convergente si la suite (S_n) a une limite. Cette limite est appelé la somme de la série $\Sigma u_{n}$ et est notée $\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}$ etc.
• Petite encyclopédie Didier - 1980 p. 423 ou bien ici On appelle série infinie (ou série) une expression de la forme $a_{1}+a_{2}+\cdots$, soit en abrégé $\sum _{i=1}^{+\infty }a_{i}$ où les a_i sont les termes d'une suite numérique (a_i).
• Delediq - Mathématiques Lycée (Dico) - 1998: une série désigne une suite particulière dont chaque terme est lui-même une somme d'éléments d'une suite.

On tourne autour du pot mais avec des différence et sans dire exactement ce que disent exactement Vessiot et Montel. Désolée de ne pas pourvoir t'aider. HB (discuter) 14 février 2024 à 17:20 (CET)

ok, merci. J'ai pris le bouquin de Marsfeld et Weinstein de la liste de Hesselp, qui est quand même plus récent que Vessiot, mais en anglais, tant pis. Tout ça montre bien que cette histoire de définition de série n'est pas tant que ça importante. Pour la critique de Kahane (qui ne vaut probablement pas que pour la définition de Bourbaki), je suis tout à fait d'accord qu'il faudrait la mentionner : n'hésite pas, je ne peut rien faire les deux prochains jours (au moins). Le texte cité est je pense identique à celui qui est disponible là https://www.canal-u.tv/chaines/utls/perspectives-sur-les-mathematiques-actuelles/necessite-et-pieges-des-definitions . Proz (discuter) 14 février 2024 à 21:00 (CET)

 Proz  HB

• (a) "Le fait est que "série" peut avoir des sens différents et liés." (Proz).

Non! Le définition de Vessiot s'adapte partout où le mot 'série' apparaît dans des textes mathématiques. Des contre-exemples?

• (b) "Vessiot, qui ne donne pas plus une définition au sens formel" (Proz), et "Vessiot, qui porte sur le vocabulaire et le langage plutôt q'une définition mathématique au sens usuel." (HB).

Pas vrai (ama). Vessiot commence avec: "Une suite infinie de nombres". Est-ce-que le définition de "suite" (voir: Suite (mathématiques))" n'est pas une 'définition au sens formel' ? Cet objet a des noms différents.
Par convention, le nom 'série' indique que le mot 'convergent' devrait être lu comme 'concentration (anglais: clustering) des sommes partielles de sa termes'. Et le nom 'série' indique aussi qu'on se propose d'étudier ce que devient, pour n infini, la somme de ses n premiers termes.

• (c) Une référence moderne, à la Vessiot. Pas en français, mais en . . . Esperanto (Vikipedio Serio (matematiko) , 27 octobre 2008:

Rimarko: Ne ekzistas formala diferenco inter la fontaj datumoj de vico kaj serio. Hesselp (discuter) 14 février 2024 à 22:28 (CET)

Hesselp

(0) Merci pour la source Vessiot qui explique bien la notion sans s’embarrasser de trop de notations. en plus simple encore il y a Deledicq «une série désigne une suite particulière dont chaque terme est lui-même une somme d'éléments d'une suite»

(1) Je n'ai jamais écrit «Vessiot, qui porte sur le vocabulaire et le langage plutôt q'une définition mathématique au sens usuel.»

(2) Nous ne sommes pas là pour choisir LA définition qui nous semble la plus pertinente mais pour présenter LES définitions d'auteurs reconnus. Ainsi la présentation de Vessiot figure dans l'article au même titre que celle bourbakiste

(3) si vous cherchez à nous convaincre qu'une série est un type de suite, c'est inutile car nous le savons bien. L'intérêt , comme l'écrivent Lelong-Ferrand et Arnaudies, c'est de regarder la suite selon une autre point de vue extrêmement fécond.

Attendons le retour de Proz pour prendre des décisions. Le mieux est que vous prépariez des propositions concrètes de modifications à discuter à son retour. HB (discuter) 15 février 2024 à 08:55 (CET)

HB

Ad Hesselp(a): Des contre-exemples?

Ad Hesselp(b): 'Vessiot', pourquoi ne serait-ce pas une définition au sens formel?
'La suite (a_n)' et 'la série (a_n)' sont le même objet, mais le choix du nom pour cet objet a des implications différentes.

Ad HB(0): "Deledicq: «une série désigne une suite particulière ...»" .
Il ne dit rien du tout d'une série. Car: peut-il dire ou la suite 1, 4, 9, 16, ... est désigné par une série, ou non? Ici (a) chaque terme est lui-même une somme d'éléments de la suite 1, 3, 5, ..., et (b) chaque terme est en même temps un carré.

Ad HB(1): Excusez-moi. C'était Proz aussi.

Ad HB(2): "Ne pas LA définition . . ., mais LES définitions d'auteurs reconnus" .
La Wikipedia-NL demande des sources fiables/crédible ("betrouwbare bronnen"). Les textes des auteurs connus ne doivent pas toujours être les plus fiables sur tous les points. Cf. par exemple: Bourbaki1942/Dieudonné1960.

Ad HB(3): J'ai vu très souvent le construction comme de Lelong-Ferrand Arnaudies. Ici il ne s'agit pas une définition de "UNE série", mais de "LA série d'une suite" où 'série' fonctionne comme le nom de la fonction qui transforme une suite donnée à sa suite-des-sommes-partielles. Une telle fonction ne peut pas converger ou diverger. Résultat: confusion. Hesselp (discuter) 16 février 2024 à 01:06 (CET)

Réponse à Proz 12-2-2024:(1)intro trop longue, (2)français incertain, (3)"attention" à éviter etc.

 Proz  HB Pour commencer: Merci pour le commentaire.
Ad (1). L'intro de ma version est (un peu) plus courte que la précédente.
Ad (2). Ou le français est incertain à "Attention-1" ? Et ou à "Attention-2" (sauf une fois "du série")? Le reste a été cité.
Ad (3). C'est une question de goût, ama. Qui pense que ces deux observations ne sont pas vraies ? Il me semble important à souligner - au début - ces irrégularités (homonymie) de la nomenclature/notation. Qui a une opinion différente ? Hesselp (discuter) 14 février 2024 à 22:44 (CET)

ReAd (1) Le RI actuel est aussi trop long - oui

ReAd (2) Proz essaie de vous dire, avec beaucoup de délicatesse, que votre maitrise du français - quoique bien supérieure à ce que pourrait être pour ma part la maitrise de votre langue usuelle ! - reste problématique dans le corps de l'article (accords (premier termes - de terme générale), conjugaison (peuvent se réfèrent, est également utiliser), style (Au cas des nombres, s'approchent une limite) Je me permet de détailler car vous avez explicitement demandé où se trouvaient ces pbs de français.

ReAD (3) Les avertissement n'ont pas vocation à figurer dans le RI amha. De plus, puisque la «série de terme général u_n» est un objet différent de la «suite de terme général u_n», il me parait non judicieux de pointer du doigt une confusion de vocabulaire p.e. très rare entre convergence de la suite et convergence de la série.

HB (discuter) 15 février 2024 à 09:33 (CET)

HB

AdReAd (2): "Français incertain", je prends ça comme "peu clair"/"difficile à comprendre". Les exemples donnés ci-dessus, ne sont pas de ce genre, ama.

AdReAd (3): Ces avertissements doivent être donnés le plus tôt possible, ama.
"Un objet different (??) de ..." :
Encore, qui peut dire, avec arguments, où la suite 1x1, 2x2, 3x3, ... (= la suite 1, 1+3, 1+3+5, ...) , est "une SÉRIE de terme général n² " , ou "une SUITE de terme général n² " , ou "une SÉRIE de terme général Σ_i=1ⁿ(2i - 1) " , ou "une SUITE de terme général Σ_i=1ⁿ(2i - 1) " ? Hesselp (discuter) 16 février 2024 à 01:06 (CET)

HB

"Don't feed ···" (Edit summary, 16 février 2024 à 08:53). Your food was just enough to learn that the question in AdReAd (3) could be formulated much better as follows. (And yes, you seem to have noticed correctly that on WP-nl and WP-de - and on WP-en - the majority has problems with the idea that 'series' preferably should be seen as a synonym of 'infinite sequence of numbers' (since Cauchy). Not surprising, when you're told all your life that you have to distinguish between them (although sometimes the difference is said to be 'quite tricky').

Nouvelle formulation. Voir (1) et (2):

(1) La notion de série est DIFFERENT de la notion de suite.

(2) La série de terme générale 2n-1 est IDENTIQUE à la suite de terme générale n² .

C'est un paradoxe, n'est-ce pas? Une série identique à une suite!

La seule façon d'éviter ce paradoxe est, ama, d'accepter la nomenclature de Cauchy, Vessiot/Montel et d'autres. Et commencez l’article comme la version de 12 février 2024 à 18:19. Des objections? Hesselp (discuter) 17 février 2024 à 00:26 (CET)

Retour près de 8 ans plus tard (#Les mots 'série' et 'suite indéfinie' sont synonymes.) de cette histoire de synonymie (qui est votre point de vue, pas celui des sources que vous présentez qui est maintenant intégré à l'article) ! Évidemment que vous avez eu des objections il y a 8 ans, et qu'il y en a toujours. On ne va pas discuter à l'infini, la synonymie est juste factuellement fausse puisque les deux termes "suite" et "série" ne sont évidemment pas interchangeables dans le discours mathématique (d'où vos "attention" etc., vous le savez bien en fait). Donc croyez si vous voulez que nous sommes, comme apparemment nos collègues des wp en nl et de, incapables de remettre en cause nos certitudes mal acquises pour pouvoir admettre la vérité. Peu importe, notre rôle sur wikipedia n'est pas de révéler une vérité jusqu'ici cachée au plus grand nombre, ni même d'en discuter jusqu'à épuisement des protagonistes dans la page de discussion, pas plus sur wp-fr que sur wp-en, nl ou de, mais de tenter une synthèse raisonnable de l'existant. Vu que vous admettez implicitement ne pas vouloir respecter des principes de base pour l'élaboration des articles, je propose de stopper là.

Longueur du RI : comme j'ai été effectivement imprécis, je préfère répondre tout de même. C'est la très longue note qui était problématique, mais on peut considérer qu'elle ne faisait pas à proprement parler partie du RI, dont acte. Ceci dit je suis d'accord avec HB que l'intro actuelle est trop longue. Proz (discuter) 17 février 2024 à 18:00 (CET)

Proz. Trois réactions:

I. «pas celui des sources que vous présentez»

Je ne vois pas des différences entre mes observations, et les sept sources. Des exemples?

II. «les deux termes "suite" et "série" ne sont évidemment pas interchangeables . . .»

D'accord! Mais 'interchangeable' est bien différent de 'synonyme'. Voir Vessiot:

Une suite infinie de nombres [une application de $\mathbb {N}$] prend le nom de SÉRIE lorsqu’on se propose . . .

Et par conséquence:

Une suite infinie de nombres [une application de $\mathbb {N}$] maintient le nom de SUITE lorsqu’on NE se propose PAS . . .

Dans les deux cas il s’agit d'une application de $\mathbb {N}$, et donc: des synonymes.

Deuxième argument: voir le paradoxe "une SÉRIE est identique à une SUITE" (17 février 2024 à 00:26 (CET))

III. «respecter des principes de base»

Un principe de base de cette encyclopédie est: LA PREMIÈRE PHRASE donne une définition compréhensible (n'est-ce pas?). C'est possible avec 'Vessiot' (y compris les conventions mondiales concernant le nom, la notation et le sens de l'adjectif 'convergent(e)').

Un autre 'principe de base' est: il doit y avoir des sources fiables/crédible (nl: "betrouwbare bronnen") pour tout. Les trois premières phrases du texte actuel de l'article n'ont aucune source. C’est 'votre point de vue'? Hesselp (discuter) 18 février 2024 à 23:12 (CET) Hesselp (discuter) 19 février 2024 à 11:21 (CET)

Proz, encore à votre «pas celui des sources que vous présentez» (17 février 2024 à 18:00)

Concernant les citations de Marsden/Weinstein et Bishop: je vois maintenant que les phrases citées de ces auteurs sont difficiles à interpréter logiquement.

Concernant Cauchy: il ne dit pas exactement la même chose de Vessiot, mais quelque chose (un peu?) PLUS FORTE. Cauchy ne choisit pas le nom 'série' seulement quand il se propose d'étudier ... , mais toujours quand la suite est INFINI et ces termes sont des 'quantités' (= des NOMBRES pos. et nég.). Et après Cauchy, centaines d'autres répètent: On appelle série une suite infinie de nombres.(en plusieurs langues). Hesselp (discuter) 22 février 2024 à 13:30 (CET)

La somme d'une série divergeant vers l'infini n'est pas bien définie ?

Comme il est indiqué dans l'en-tête pour 1+2+3+.., alors qu'il me semble que cette somme est tout à fait définie : plus l'infini dans R barre...

J'aurais envie de remplacer 1+2+3+.. par 1-1+1-1 ... Robert FERREOL (discuter) 16 février 2024 à 07:37 (CET)

Mouais. C'est passé à côté de l'égalité établie d'abord par Euler : 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = -1/12. Kelam (discuter) 16 février 2024 à 08:06 (CET)

J'allais donner aussi l'exemple de 1+x+x²+x³... pour x > 1 qui donne pour résultat 1/(1-x) même pour x > 1 dans beaucoup de méthodes de sommation de séries divergentes mais la remarque de Robert FERREOL est pertinente. En début d'article il vaut mieux choisir un exemple plus consensuel comme la série de Grandi pour ne pas trop heurter ceux qui ne connaissent qu'une limite possible aux suites réelles croissantes non bornées. HB (discuter) 16 février 2024 à 08:32 (CET)

Oui ce sont des bonnes idées. J'ai reformulé en "la valeur de cette somme infinie n'est pas définie en tant que nombre réel", car je suis d'accord avec Robert FERREOL. Mentionner 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = -1/12 est important je trouve.

D'autres solutions :

- supprimer l'exemple 1+2+3+... et ne garder que 1/2+1/4+... dans l'intro car peut-être ça suffit d'avoir un seul exemple. Même si c'est dommage de ne pas avoir d'exemple de série divergente.

- l'exemple 1-1+1-1+... est moins grand public pour l'intro. Il y a des "plus" et des "moins". On voit moins trivialement une "somme infinie". Mais par contre, c'est un exemple à mentionner dans le corps. Ou alors le rajouter dans l'intro et avoir trois exemples ? Car 1+2+3+4... est plus simple à comprendre.

- l'exemple 1+x+x²+x³... pour x > 1 est à mentionner quelque part, mais pas forcément dans l'introduction. J'ai tendance à préférer un exemple sans variable x, pour garantir une accessibilité au plus grand nombre de lecteurs.

Bonne journée. Fschwarzentruber (discuter) 17 février 2024 à 16:06 (CET)

Je ne pense pas qu'il soit raisonnable d'en dire trop dans le RI qui doit rester très accessible. L'égalité d'Euler (est-ce bien lui ?) n'y est pas utile, mais pourrait bien-sûr être reprise dans le corps de l'article. Je pense qu'il suffit de donner un exemple de série évidemment convergente (comme actuellement) et un autre d'évidemment divergente, et plutôt à termes positifs, car c'est plus immédiat (mais sans parler de non définie). Autre chose : cette histoire de calcul ou de simplification de sommes partielles : ça ne me parait compréhensible qu'à ceux qui savent déjà de quoi il retourne, et je serais pour simplifier aussi en prenant plutôt comme exemple la série géométrique (il suffit de pointer sur l'article). Proz (discuter) 17 février 2024 à 18:38 (CET)

Bonsoir, Peut-on avoir la minute où Kahane parle des séries dans sa vidéo ? Robert FERREOL (discuter) 17 février 2024 à 20:22 (CET)

Je fais référence au texte qui est sous l'onglet "Documentation pédagogique" sans pagination. Proz (discuter) 17 février 2024 à 20:39 (CET)

Si j'ai bien compris, Kahane ne veut pas donner de sens précis au mot série, un peut comme pour le mot fractal, ou le mot nombre. Mais cela me parait très gênant pédagogiquement. Dans le sens courant, les mots série ou suite sont assez synonymes et cela me parait important que la notion d'ordre reste dans la définition d'une série.

Bref, l'intro telle que modifiée par Proz me parait excellente (plus de "grosso modo" ), ainsi que la section "définitions", et bien en adéquation avec l'enseignement, sachant qu'à mon avis, le public qui va consulter cette page est essentiellement constitué d'étudiants (actuels). Robert FERREOL (discuter) 22 février 2024 à 14:00 (CET)

Merci Proz et Robert FERREOL pour vos modifications. Fschwarzentruber (discuter) 23 février 2024 à 11:53 (CET)

Commentaires à la section "Définitions"

A. «une série est une suite (infini) dont on se propose . . .»
Cela semble être une traduction de Marsden/Weinstein 1980. En regardant à nouveau, je vois que ces auteurs (et E. Bishop également) ne donnent pas une description claire de que l'intention aurait été. Parce qu'ils ne me permettent pas de décider si une suite infinie donnée EST une série: la suite elle-même ne montre pas si ses termes doivent être additionnés ou non.
Vessiot (et Bieberbach, Quadling, Keisler) le dit plus précisément. En termes plus modernes: quand un auteur d'un texte mathématique parle/écrit sur une succession/séquence infinie de nombres, et a l'intention d'étudier les sommes partielles à l'indice croissant, l'auteur
(1) ne choisit pas le nom 'suite' mais le nom (plus traditionnel) 'série',
(2) n'écrit pas de virgules (,) mais de signes plus (+) entre les premiers termes, ou utilise le signe sigma (Σ).
(3) utilise l'adjectif 'convergent' (et le verbe 'converger') pour: la suite en question est sommable.

B. «D'autres identifient la série d'une terme général à la suite de ses sommes partielles»
Ce n’est pas une définition correcte, c'est une "définition circulaire": 'SES sommes partielles' sont les sommes partielles de la (pas encore définie) 'série'. Qui devrait être mentionné.

Concept De 30 lignes (intro 12 février 2024, réfs y compris) à 20 lignes (définitions). Qui corrige mon 'français' ?
Pour certains auteurs une série n'est rien d'autre qu'une suite infinie de nombres, avec trois conventions. Quand un auteur d'un texte mathématique parle/écrit sur une succession/séquence infinie de nombres (une application de $\mathbb {N}$), et a l'intention d'étudier les sommes partielles à l'indice croissant:

• il ne choisit pas le nom suite mais le nom (plus traditionnel) série,
• il n'écrit pas de virgules (,) mais de signes plus (+) entre les premiers termes, ou utilise le signe sigma (Σ),
• il utilise l'adjectif convergent et le verbe converger pour dire que la limite des sommes partielles de la suite en question existe. <ref réfs /ref>

[Références: Cauchy, Vessiot/Montel, Bieberbach, Quadling et Keisler, comme à la version 12-02-2024.] Hesselp (discuter) 22 février 2024 à 13:43 (CET)

RobertFERREOL. À votre «Bref, (paraphrasé) la section "Définitions" me parait exellente» (22 février 2024 à 14:00 (CET))

Quelle est votre réponse lorsqu’un étudiant qui consulte cette section, demande :

a. Comment je peux voir ou une suite infinie donnée est "une suite dont on se propose d'additionner les termes" (et donc: est une série) ?

b. La 'définition' de Gourdon (réf. 11) n'est-ce pas une définition circulaire ? (Cette 'définition' contient "SES sommes partielles".)

c. Pourquoi la 'définition' de Bourbaki: couple de suites, est EQUIVALENTE avec cette de Ramis ...: suite de couples (réf. 13) ?

d. Pourquoi pas démonstré la définition basée sur Vessiot et Cauchy (voir 'Concept'), qui montre comment ce mot est utilisé dans la pratique. Hesselp (discuter) 22 février 2024 à 18:18 (CET)

Je ne comprends pas vos questions, mais il me semble que la def. "Une suite infinie de nombres prend le nom de série lorsqu’on se propose d’étudier ce que devient, pour n infini, la somme de ses n premiers termes" est catastrophique, en tous cas de nos jours, car ce qui est sans arrêt utilisé est que la suite de terme général u(n) est de même nature (convergente ou divergente) que la série de terme général u(n+1) - u(n) ; donc il ne faut absolument pas qu'une suite prenne le nom de série... Robert FERREOL (discuter) 23 février 2024 à 15:20 (CET)

RobertFERREOL. Merci pour vos mots.

À votre «exellente» et «Je ne comprends pas vos questions a, b, c, d ». Je vais essayer à nouveau, en d'autres termes:

a. Comment un étudiant peut décider ou la suite harmonique est "une suite dont on se propose d'additionner les termes" (section 'définitions' ligne 1) ?

b. Vous êtes d'accord avec moi que la 'définition' de Gourdon (réf. 11) est une définition circulaire ?

c. Pourquoi le couple de suites de Bourbaki (Dieudonné) est equivalente avec la suite de couples de Ramis ? Références?

d. J'ai cité Vessiot (12 février 2024) comme : «Une suite infinie de nombres […] prend le nom de série lorsqu'on se propose d'étudier ce que devient, pour n infini, la somme […] de ses n premiers termes. On écrit alors les termes de la suite en les séparant par des signes + ; et on énonce: la série $\;u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}+\cdots \;$ou: la série $u_{n}$.». Etes-vous d'accord avec moi que Vessiot dit la même comme le 'Concept' ci-dessus ?

Et que «prend le nom de série lorsqu'on» (Vessiot) dit la même que «Quand un auteur . . . il choisit le nom série» (Concept) ?

Il y a deux differences: (i) La notation avec Σ n'était pas si courante en 1921, et (ii) Utiliser le mot 'convergent' pour l'existence d'une limite des termes n'a pas été généralement accepté en 1921. C'est pourquoi que Vessiot ne mentionne pas la troisième convention.

Tous les trois conventions mentionnées dans le 'Concept' sont - de nos jours - généralement acceptés. (Oui?) Avec comme conséquence que chaque auteur signifie avec «la série (de terme générale) a(n) est convergente» la même chose qu'avec «la suite (de terme générale) a(1)+a(2)+ ... +a(n) est convergente» . Il n'y a donc pas de catastrophe (ama). Hesselp (discuter) 23 février 2024 à 22:45 (CET)

@Proz @HB @Robert FERREOL @Fschwarzentruber: Qui voit des problèmes textuels concernant ma proposition 'Concept' ci-dessus? Des alternatives? Hesselp (discuter) 25 février 2024 à 17:25 (CET)

a, b,c sont des faux problèmes, d'ailleurs créés en altérant ce qui est écrit dans le cas de b et c. Pour le reste, vous êtes toujours dans la perspective de trouver "la" bonne définition, donc hors de question de s'engager dans ce genre de débat (pas le lieu, cf. ci-dessus). Proz (discuter) 25 février 2024 à 22:35 (CET)

a. Par exemple, considérons la suite harmonique (u_n)n avec u_n = 1/n. Si on se propose d'additionner les termes, on a la série harmonique SUM 1/n. Donc tout va bien.

b. Non, la définition dans Gourdon tient la route. Il définit la série de terme général u_n comme la suite (S_n)_n.

c. Je n'ai pas le livre de Ramis sous la main, mais j'imagine que c'est que avoir le couple ( (u_n)_n, (S_n)_n ) c'est équivalent d'avoir la suite (u_n, S_n)_n (j'imagine que c'est comme ça dans Ramis)

d. Je n'ai pas Vessiot sous la main mais je vous fais confiance. Vessiot et Montel est cité et le texte de l'article dit la même chose. Donc pas de soucis.

Je suis d'accord avec Proz. Il ne s'agit pas ici de trouver "la" bonne définition. L'article n'est pas un cours sur les séries, où il faudrait choisir une seule définition. Ici, l'article fait le tour du sujet en s'appuyant sur les sources. Je trouve que c'est très bien d'avoir une section "Définitions" qui discute des différentes façons de définir une série dans la littérature scientifique. Fschwarzentruber (discuter) 25 février 2024 à 23:07 (CET)

Proz. a, b, c ne sont pas des problèmes, mais trois fois des questions (à Robert FERREOL, qui a décrit la section 'Définitions' comme 'excellente'). Et je ne vois pas mes altérations de ce qui est écrit dans le cas de b et c. Concernant Gourdon (b) et Bourbaki/Ramis (c), je m'attends à trouver sous le titre 'Définitions' des définitions de l'objet mathématique nommé 'série'.

Pour le reste . . ., j'ai toujours dans la perspective de présenter le point de vue de 'certains auteurs', en s'appuyant sur des sources. Comme augmentation des points de vue déjà présent, partiellement qualifié par HB comme "tournant autour du pot" (14 février 2024 à 17:20 (CET)). Et comme contrepoids aux manuels d'enseignement qui déclarent: "Une série d'une terme générale donnée EST une suite ..." et aussi "Une série (sans plus) N'EST PAS une suite." . Hesselp (discuter) 26 février 2024 à 21:43 (CET)

Fschwarzentruber. a3. Mon question de 22-02 était: Comment je peux voir ou (p.e.) la suite harmonique EST une série? Je n'ai pas de boule de cristal, et donc je ne sais pas ce que ON se propose.

b3. La phrase qui compte dit: "D'autres [...] de SES sommes partielles, mais ... ". Gourdon, veut-il dire avec cela quelque chose de différent que: "LES sommes partielles DE LA SÉRIE (pas encore définie), mais ..." ?

c3. d3. Pour les livres 'pas sous la main': va à "archive.org" and search with "vessiot montel" (or "vessiot cours") and with " ramis cours" (partie 4). Je n'ai pas vu des sources pour "couple de suites equivalent à suite de couples".

Voir ma réponse à Proz. Hesselp (discuter) 26 février 2024 à 21:43 (CET)

Annulation du 28 février 2024 à 15:00

Je justifie ici un peu mieux mon annulation : Hesselp (d · c · b) il n'y a aucun indice dans cette page d'un quelconque accord pour votre ajout du 28/02, et au contraire un consensus général pour la version actuelle, et un désaccord explicite pour ce que vous proposez (Robert Férréol 23 février 2024 à 15:20). La longue liste de références n'est pas utile, et remonter à Cauchy pour une définition n'a pas grand sens (hors section histoire) ainsi que déjà écrit ci-dessus. Merci de ne pas procéder à des modifications sans vous assurer d'avoir obtenu un consensus en pdd. Vos interventions auraient de toute façon besoin d'être relues pour des questions de français. Proz (discuter) 28 février 2024 à 18:37 (CET)

Chez la justification de Proz de 28 février 2024 à 18:37:

À «il n'y a aucun indice …»

i. J'ai répondu (23 février) au "est catastrophique" de Robert FERREOL. Pas de reaction. J’ai appris: "Qui se tait, consent."

ii. Aux mots de Proz «vous êtes toujours dans la perspective de trouver "la" bonne définition», j'ai répondu (26 février 2024) que ma contribution est également "le point de vue de certains auteurs". Sans mon opinion personnelle. Pas de reaction. J’ai appris: idem.

iii. Aux mots de Fschwarzentruber «une section "Définitions" qui ... la littérature scientifique »: les sources de ma contribution sont également "scientifiques", ama. Et ma contribution montre également un aspect de "le tour du sujet", ama. Donc pas de désaccord par Fschwarzentruber.

iv. Voir HB (14 février à 12:31): «ces présentations, celle de Vessiot mérite probablement d'être citée (et probablement dans le RI)» et «d'où ma préférence pour la présentation de Vessiot»

À «consensus général pour "Pour certains auteurs une série est une suite (infinie) dont on se propose d'additionner les termes."»

v. Ce n'est pas une récapitulation correcte de Cauchy et Vessiot, voir 22 février à 18:18 point a, 23 février 2024 à 22:45 point a, et 26 février à 21:23 boule de cristal. Donc: pas de consensus générale.

vi. La liste de sept références dans la version de 12 février 2024 à 18:19 n'était pas correcte concernant Bishop et Marsden/Weinstein. Je m'excuse.

À «La longue liste de références …»

vii. Les sources de Cauchy et de Vessiot/Montel sont les plus important ici. Les sources de Bieberbach, Quadling et Keisler montrent que ce point de vue existait/existe aussi en Allemagne, Angleterre et États Unis (1976, 2012). Les citations explicites sont très informative, tous les cinq, ama.

viii. Et qu'il s'agit Cauchy: son interprétation de "série convergente" est généralement suivi jusqu'à aujourd'hui(!) Et son: "On appelle série une suite indéfinie de quantités (= de nombres)" correspond exactement à Vessiot/Montel etc. Wikipedia demande des sources fiables; plutôt trop que trop peu.

À «Vos interventions … français.»

ix. Voir ma invitation de 25 février 2024 à 17:25. Qui se tait,…? Et il ne me semble pas impossible de corriger des fautes de langue sans annulation totale.

Résumé-1:

Je ne vois pas, ci-dessus, une justification suffisante pour cette annulation. Quelles sont les objections possibles de @Fschwarzentruber, @HP et @Robert FERREOL concernant la version 28 février 2024 à 12:00 ? Des propositions de changements peuvent-elles être montrées ici?

Résumé-2:

'Vessiot/Montel' (réf. 7) ne supporte pas «une suite dont on se propose …». Omettre, ou remplacer par 'Bishop' (version 12 février 2024 à 18:19, réf. 1) ? Avec retard: Hesselp (discuter) 29 février 2024 à 14:06 (CET)

vii-bis. Encore deux sources:

K. Hoffman 1975, 2007 Analysis in Euclidean Space, 1975, p. 35; 2007 (éd. Dover)

In many problems, we are given a sequence {X_n} and we are interested in the convergence of the successive sums. We then speak of the infinite series [and we write Hesselp (discuter) 10 mars 2024 à 18:42 (CET)] Σ_nX_n.

P. Wijdenes 1944, 1954 Middel-algebra, partie II, 3e éd. 1944, p. 118; 5e éd. 1954, p. 118

Néerlandais: Om te kennen te geven, dat we aan de partiële sommen aandacht schenken, noemen we de oneindige rij getallen een oneindig voortlopende reeks of kortweg reeks en de getallen de termen van de reeks en verbinden we de tekens, die de termen voorstellen, door plustekens.

Français: Pour indiquer que nous prêtons attention aux sommes partielles, nous appelons la suite infinie de nombres une série infiniment continuante ou série en abrégé et les nombres les termes de la série, et nous connectons les signes représentant les termes avec des signes plus.

Les citations de Bieberbach (la seul en allemand), Quadling (la seul avec le signe sigma) et Keisler (la plus récente, 2012) contribuent à clarifier le “prend le nom de série” de Vessiot, de trois manières. N'est-ce pas? Hesselp (discuter) 1 mars 2024 à 23:20 (CET)

More arguments supporting version 28 février 2024 à 12:00

At Proz’ objection La longue liste de références n'est pas utile :
It should be made clear that Vessiot doesn't mean 'series' to be the name of a subspecies of the infinit sequences of numbers (as said, or at least strongly suggested, by une série EST [caps Hesselp] une suite (infinie) dont on se propose d'additionner les termes and by An infinite series IS [caps Hesselp] a sequence of numbers whose terms are to be added up. – both in version 28 février 2024 à 15:00 .
But that 'series' is meant to be seen as (the traditional) name for (and the pluses in stead of commas as notation for) every infinite sequence of numbers. Chosen by an author lorsqu'il a l'intention d'étudier ses sommes partielles à l'indice croissant- version 28 février 2024 à 12:00. This is emphasized by Bieberbach (Wir…, uns), Keisler (we…, we …) Hoffman (we, we) and Wijdenes (we, we). (For a long time studying the summability of a sequence - named 'series' - was by far the most important thing to do with it.)

At Proz' objection remonter à Cauchy pour une définition n'a pas grand sens :
See no. viii above. Cauchys On appelle série une suite indéfinie de nombres does not conflict with how the word 'series' always has been used in practice (different from what is said by quite a lot of modern manuals). This fact is mentioned explicitely not very often nowadays, so also for this reason the references are not without sense / inutile.

Concerning Résumé-1: above. Not any remaining objection has been shown after more than three days. This does not support (any longer?) Proz' Aucun consensus - résumé 28 février 2024 à 15:00. Hesselp (discuter) 3 mars 2024 à 21:28 (CET)

Actuellement le consensus dans l'enseignement français est de dire que la série de terme général u_n est la suite de terme général s_n=u_0+..+u_n. Dire dans la section définition qu'une suite prend le nom de série ne peux que dérouter les étudiants actuels. Cette définition de Cauchy d'il y a un siècle et demi peut peut-être être indiquée dans un paragraphe historique, mais l'article est déjà assez inflationniste à mon avis.

La définition n'est pas circulaire : la série de terme général s_n est la suite de terme général t_n=u_0+2u_1+3_u_2+..+(n+1)u_n [? ? ? Hesselp (discuter) 10 mars 2024 à 18:42 (CET)]Robert FERREOL (discuter) 4 mars 2024 à 20:55 (CET)

Robert FERREOL. Thank you for your more extensive motivation, compared with your Je ne peux que reprendre … (votre résumé de 4 mars 2024 à 20:22). I'll try to make clear my comments (partly repeating myself).

A. Starting with your last (4th) sentence La définition n'est pas circulaire…: you didn't make a mistake somewhere? I expect the "S_n" in the first part of the definition, to be visible repeated in the second.

B. In your first sentence I read: la SÉRIE de terme général u_n est la SUITE des sommes partielles de la suite u_n . Les étudiants actuels aren’t they not dérouté by la SÉRIE … = la SUITE … together with une série ≠ une suite ? Vessiot and others saw a way to avoid this paradox, not conflicting with how the word 'series' always has been used in practice. Not worth to be included?

C. Your second sentence. The words une suite prend le nom de série appear in both versions. So why do you think the version by Proz is not (or less) distracting for students?

D. This students are able to decide whether or not the harmonic sequence IS a 'series' ? Based on whether or not on se propose d'additionner les termes? They have cristal balls whispering the answer?

E. Cette définition de Cauchy ... See no. viii above. 'Cauchy' doesn't conflict with current practice, and supports 'Vessiot', so why not give as reference, including his definition of the word 'convergent'. We don't remove 'Pythagoras' just because of his age, isn't it?

Finally. To me, it seems desirable to mention objections, and to give the opportunity for discussion, before an annulation.Hesselp (discuter) 5 mars 2024 à 01:55 (CET)

Hesselp, la discussion a déjà eu lieu, vous êtes le seul en désaccord et persistez à vouloir imposer votre vision en resservant les mêmes arguments, et en posant des questions dénuées de sens où vous jouez (mal) sur les mots, en voulant à nouveau revenir sur le fond. C'est qu'en même incroyable que 8 ans après vous nous resserviez Cauchy de façon répétée, alors que la réponse vous a été donnée à l'époque, ça n'a pas de sens de prendre comme source un livre d'il y a plus de deux siècles comme source pour une définition d'aujourd'hui, et ce n'est qu'un exemple (et il est hors de question d'ajouter encore des milliers d'octets à cette page sur le sujet). Passer à l'anglais n'arrange rien. C'est impossible de mettre une telle pression, nous avons autre chose à faire qu'à nous occuper de vos éditions sur cet article. Pourriez-vous Wikipédia:Passer à autre chose ? Proz (discuter) 6 mars 2024 à 10:28 (CET)

Ich stimme Proz vollkommen zu. Sie sind allein gegen alle und sind stur. Bitte tragen Sie zu einem anderen Artikel bei. Pierre Lescanne (discuter) 6 mars 2024 à 19:21 (CET)

Answer to Proz (with many repetitions, for maximum clarity).

α. At «des questions dénuées de sens» : This is quite subjective.

β. At «comme source un livre de 1821» : Why shouldn't we attribute the definition "An infinite succession of numbers is called a SERIES (or REIHE)" to Cauchy, the most influential author among many. I found this definition explicitely mentioned by 15 different authors before, and 125 after Cauchy (most recent: 2015). And Cauchys definition of "série convergente" (the limit of the partial sums of its terms exists) was and is used universally. So it will be informative to mention that the point of view of Vessiot c.s. is consistent with this definitions.

γ. At: «jouez (mal) sur les mots» : To avoid misreading, words should be carefully chosen. All possible ambiguities should be avoided.

Example: "une série est une suite infinie de nombres dont on se propose d'additionner les termes". The first part of this sentence suggests that 'series' is the name of the objects/elements in a certain subset of the set infinite sequences of numbers. So the reader expects a condition on sequences, e.g. to be able to learn whether or not the harmonic sequence can be called a series as well. But such a condition isn't given by the second part of the sentence. And cannot be found in the citations of Marsden/Weinstein and Vessiot.

δ. At «C'est impossible de mettre une telle pression» : So stop annulating the (properly sourced) viewpoint of Vessiot et al.

ε. At «vous êtes le seul» :

- HB. "ces présentations, celle de Vessiot mérite probablement d'être citée (et probablement dans le RI)" et "d'où ma préférence pour la présentation de Vessiot" (disc. 14-02). No reaction on "des problèmes textuel" (disc 25-02, with ping). No reaction on "Résumé-1 – objections possible?", "Résumé-2" and "les citations contribuent à clarifier" (disc 29-02, with ping).

- Fschwarzentruber. No reaction on my answers (disc 26-02) on his points a-d (disc 26-02). No reaction on two pings, see HB above.

- Robert FERREOL. No reaction on my answer (disc 23-02) on his "catastrophique" (disc 23-02). No (quick) reaction on points A-E in my answer (disc 05-03) on his "ne peux que dérouter les étudiants" (disc 04-03). No reaction on two pings, see HB above.

- Proz. "en espérant que ça cesse" (disc résumé 25-02). "la discussion a déjà eu lieu" (disc 06-03). Instead of clear answers.

Answer to PIerre.Lescanne. This page is meant for discussion (it's not a voting paper). So please specify your objection(s). Hesselp (discuter) 6 mars 2024 à 23:12 (CET)

https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Get_over_it Robert FERREOL (discuter) 7 mars 2024 à 08:10 (CET)

RobertFERREOL. Thank you for showing the link to Get over it. I understand that it's about the situation where someone has a deep sense that HIS/HER beliefs or views … are the best …. A difference with the proposal discussed here, is that this is about the idea of VESSIOT (and successors), explaining how in mathematical practice the (at that time) new sense of the word 'convergent' (limiting terms) is distinguished from the Cauchy sense of the same word (limiting partial sums of the terms). Relevant as well today, also for students in France.

No arguments are shown supporting replacing the Vessiot idea by the sentence une série est une suite (infinie) dont … , being:

- not a definition of the word 'série',

- not a description of a subset of the set of infinite sequences of numbers (as suggested by une série est une suite …),

- not supported by the Vessiot citation,

- not prone to any reasonable interpretation, not of any use to french students. Hesselp (discuter) 8 mars 2024 à 23:07 (CET)

To RobertFERREOL once more. I don't accept your annulation of 4 mars 2024 à 20:22 . Your two arguments (disc.4 mars 2024 à 20:55, paraphrased): 'VESSOIT déroute les étudiants' and 'CAUCHY n'est pas actuel', gave rise to five questions (A – E, disc. 5 mars 2024 à 01:55). No answers/reactions on this questions (within almost a week). Hesselp (discuter) 10 mars 2024 à 18:42 (CET)

Citation de Proz, 17 octobre 2015 :

"Ce qui fait la différence sur le fond c'est que quand on parle de série (versus suite) . . on a un point de vue différent, des méthodes différentes, etc." .
Ça ne ressemble pas beaucoup à Cauchy 1821 / Vessiot 1921 / Article 3 mars 2024 ? :
"On appelle série une suite indéfinie de quantités [= nombres] . . qui dérive les unes des autres suivant une loi déterminée" /
"Une suite infinie de nombres prend le nom de série lorsqu'on . . se propose d’étudier ce que devient, pour n infini, la somme de ses n premiers termes." /
"on choisit le nom série pour une suite infinie de nombres lorsqu'on . . a l'intention d'étudier ses sommes partielles à l'indice croissant." . Hesselp (discuter) 12 mars 2024 à 20:43 (CET)

Peut-être, tant mieux si c'est votre sentiment. Je n'ai pas changé d'avis. Et pourtant je ne suis absolument pas d'accord avec votre proposition de privilégier un point de vue (sans parler de l'expression maladroite). Ça devrait vous faire réfléchir. Tous les autres intervenants qui se sont exprimés sont satisfaits de la version actuelle. Personne ne soutient votre position (c'est factuel, inutile d'essayer de faire croire le contraire). Donc annulation à nouveau, et non, pas question de se lancer dans d'interminables discussions sur des sujets déjà débattus. Proz (discuter) 12 mars 2024 à 21:55 (CET)

Proz. In my opinion, the main cause of our disagreement can be found in your sentence Et pourtant ….privilégier un point de vue.

It seems to me that with UN point de vue, you mean ONE point of view. While I see a real gap between the view presented by VESSIOT/MONTEL et al. (paraphrased in my text + notes in version 12 mars 2024) and the view presented by MARSDEN/WEINSTEIN (paraphrased/translated in your text + notes in version 13 mars 2023).

According to Vessiot (and more extensively worded by Bieberbach, Quadling and Wijdenes (au dessus 1 mars 2024)) the words 'series' and 'sequence' are used both as names for the same mathematical object (mapping on N) but an authors/speakers choice for a name depends on the area of application.

However, the wordings of Marsden/Weinstein (and Bishop) doesn't make it possible to decide whether or not the harmonic sequence 'HAS terms to be added up' or 'IS meant to be summed'. Moreover, in your version nothing is said about the implications of using the word 'series' on the meaning of the words 'convergent' and 'to converge' and on the type of notation.

A possibility is to include both versions ('Vessiot' and 'Marsden') in the Definitions section of the article. Hesselp (discuter) 14 mars 2024 à 23:51 (CET)

Mais les deux versions, qui sont différentes plus de forme que de nature, sont déjà incluses, avec une citation de Vessiot, certes en note mais le livre de Vessiot date de 1921 (voir WP:SAO,  HB : n'a rien trouvé dans ce sens de plus récent, voir au dessus). Vous pouvez comprendre par vous même que c'est notre souci à la lecture de #"“Definition formelle”. Les notations ont évolué depuis 1921. Celles de Vessiot sont celles de l'époque (rien de particulier à sa définition) et elles sont "obsolètes", cf. Godement 1999. Elles pourraient être signalées plus loin (à partir d'une source plus récente, par ex. Godement, en signalant qu'elles sont dépassées). Comme déjà dit plusieurs fois, mettre en valeur et développer cette définition parait de toute façon problématique (cf. avis  Robert FERREOL :). De plus il faudrait alors développer aussi les autres définitions, ce qui nuirait d'autant plus à l'objectif qui est de donner une version synthétique et lisible. Il me paraît beaucoup plus utile pour cela d'insister sur ce qui est commun (les 3 points mis en exergue actuellement dont la définition de la convergence qui est donc bien présente contrairement à ce que vous écrivez). La réalité c'est qu'au delà de ces détails de présentation ou de définition, il y a sur le fond consensus en math. sur le sens du mot "série", ses usages (quel que soit l'objet mathématique auquel le mot est censé faire référence), au moins à ce niveau élémentaire, sinon ça se saurait (personne ne parle de série au sens de Bourbaki, ou d'untel), et on ne va pas essayer d'induire le contraire. Vous citez des livres comme ceux de Keisler ou de Bishop qui sont tout à fait hétérodoxes sur la présentation de l'analyse (dans des genres très différents), mais justement pas sur ce point. C'est une chose de signaler des divergences de définition ou de présentation, insister dessus (sans source les comparant), cela devient du WP:TI.

Personne ne se demande si la suite harmonique est ou non une série (une question artificielle que vous posez il me semble à partir d'une interprétation hyperformelle de Marsden-Weinstein, il suffit pourtant de lire pour constater que ce n'est pas du tout l'intention de l'ouvrage), ce qui n'a pas de sens. En français on parle de série harmonique, qui est sans ambiguïté (et la suite harmonique semble être tout autre chose).

Je ne fait ci-dessus qu'insister sur des choses qui ont déjà été dites, parfois simplement de les répéter, ou d'expliciter des évidences (par exemple que WP:SAO soit une une préoccupation me semblait évident d'après la discussion #“Definition formelle”). Par ailleurs il est étrange et peu commode de discuter des subtilités d'expression dans une langue étrangère, même en anglais, je ne peux pas vous citer par exemple. Nous en sommes tout de même à 60000 octets depuis fin janvier, l'article a évolué depuis, en intégrant d'ailleurs une partie de ce que vous proposiez. Vous êtes le seul à contester cette version en pdd. Donc à nouveau il faudrait Wikipédia:Passer à autre chose. Proz (discuter) 15 mars 2024 à 16:42 (CET)

Je propose d'organiser un vote sur ce passage à autre chose. --Pierre Lescanne (discuter) 15 mars 2024 à 20:49 (CET)

Passer à autre chose

• Pour Je trouve que la discussion a assez duré.--Pierre Lescanne (discuter) 15 mars 2024 à 20:49 (CET)
• Pour Robert FERREOL (discuter) 15 mars 2024 à 21:11 (CET)
• Pour bien-sûr. Proz (discuter) 15 mars 2024 à 23:56 (CET)
• Il est réellement temps que cette discussion sans fin s'arrête.  Hesselp : passez à autre chose! HB (discuter) 24 mars 2024 à 21:12 (CET)

Continuer la discussion

Don't feed the troll

Réponse à Proz (15 mars)
aa. «différentes plus de forme que de nature» . . . de forme: yes, in length; . . de nature: a real gap, described by (pdd 14 mars):
According to Vessiot (and more extensively worded by Bieberbach, Quadling and Wijdenes (pdd 1 mars)) the words 'series' and 'sequence' are used both as names for the same mathematical object (mapping on N) but an authors/speakers choice for a name depends on the area of application. However, the wordings of Marsden/Weinstein (and Bishop) doesn't make it possible to decide whether or not the harmonic sequence 'HAS terms to be added up' or 'IS meant to be summed'. Moreover, in your version nothing is said about the implications of using the word 'series' on the meaning of the words 'convergent' and 'to converge' and on the type of notation.

bb. «une citation de Vessiot» . . . You cited only the first half of his viewpoint. The second part is equally well relevant.

cc. «livre de Vessiot date de 1921» . . . ELEVENTH edition 1947. . Moreover, my text is based as well on: Bieberbach 1928, Wijdenes 1944/1954, Quadling 1955/1968, Hoffman 1975/2007, Keisler 1976/2012.

dd. «SOA» . . . "Une source ancienne est donc recevable tant qu'une ou plusieurs sources récentes ne l'ont pas invalidée ou relativisée." You don't mention sources of this kind.

ee. «HB, Robert FERREOL - pages d'utilisateur» . . . Interesting, but I don't see their professions being very relevant in this discussion.

ff. «Les notations de Vessiot sont "obsolètes"» . . . I don't think Godement is very close to the thruth with his La notation $u_{1}+u_{2}+\cdots$ qu'utilisaient tous les Fondateurs est maintenant totalement dèsuète (I find this notation seven times in 'Série (mathématiques)' ) . . . And concerning Vessiots la série $u_{n}$ Dieudonné (Foundations of Modern Analysis 1960 p. 91; Éléments d’Analyse 1969 p. 95) writes "or simply the series $(x_{n})$". Also Gilles Dubois (Bases de l’analyse mathématique 2012): "ou plus simplement la série $(x_{n})$".

gg. «de toute façon problèmatique (cf. avis Robert FERREOL)» . . . I guess (why aren’t you specific?) you mean his ‘dérouter les étudiants actuels’ (pdd 4 mars). I reacted on this in my point B (pdd 5 mars): ‘Vessiot’ avoids the usual paradoxes.

hh. «développer aussi les autres définitions» . . . That’s a good idea! And after that, decide which one is used in the article.

ii. «donner une version … lisible» . . . So without the uninterpretable sentence “Une série est une suite (infinie) dont on se propose d'additionner les termes”. See my comments pdd 8 mars.

jj. «la définition de la convergence … bien présente» . . . Any 'definition' of la covergence d'une série is void without a clear definition of série.

kk. «sur le fond consensus . . .quel que soit l'objet mathématique [parfois nommé 'série']» . . . Yes, consensus, the object is: a mapping on N. What else could it be?

ll. «de Keisler ou de Bishop» . . . Bishop is not (any more) one of my notes. . . Can you specify what you mean with Keisler …hétérodoxe … mais justement pas sur ce point ? And to which of the points in Travaux inédits you refer?

mm. «Personne ne se demande» . . . Is it unthinkable that someone tries to find in WP 'the' difference between a harmonic sequence and a harmonic series? . . Any ' definition' of série harmonique is void without a clear definition of série.

nn. «en intégrant d’ailleurs une partie de ce que vous proposiez» . . . NOT AT ALL! . . It’s impossible to interprete your sentence in a meaningful way (ppd 8 mars). Or can you show your interpretation? . . Marsden/Weinstein doesn’t say HOW to decide whether or not a sequence of numbers ‘’has terms to be added up’’. Maybe in fact they meant the same as Vessiot, but in that case this should be formulated in a clear way. Hesselp (discuter) 16 mars 2024 à 18:41 (CET)

Vous ne tenez aucun compte de ce qu'on vous écrit, vous demandez de détailler des choses évidentes si vous avez vraiment lu les ouvrages que vous citez (Keisler : analyse non standard, Bishop : math. constructives) vous ne pouvez pas passer en force, surtout avec un bandeau R3R, alors qu'une claire opposition est explicite dans la section ci-dessus. Proz (discuter) 16 mars 2024 à 22:58 (CET)

To Proz :

AA. «tenez aucun compte» . . . Really? . . See my reactions aa – nn (ppd 16 mars) on Proz' contribution one day earlier. . . And see my proposal for a combined version (pdd 14 mars).

BB. «Vous demandez de détailler» . . . There are question marks in my points gg, ll (you answered on 'hétérodoxe', thanks, not on WP:TI), mm and nn. . . In none of these I ask for detailing.

CC. «Keisler : analyse non standard» . . . It's certainly informative that Vessiots viewpoint is in line with non-standard analyses as well (and is supported by an american mathematician).

DD. «une claire opposition explicite» . . . I didn't see (and haven't seen until now) an explicit NO of any user – apart from the annulation by Proz - to my proposal (14 mars) of a combined version. Hesselp (discuter) 24 mars 2024 à 20:42 (CET)

Choix entre 'Vessiot' (V), 'Marsden' (M), ou tous les deux (VM)

Demandé: . . la préférence des participants de la discussion ci-dessus, et éventuellement d’autres, pour inclusion à la section 'Définitions':

. . la version V (Article/Définitions, 12 mars 2024 à 22:18)
Selon certains auteurs, en mathématiques on choisit le nom série pour une suite infinie de nombres lorsqu'on a l'intention d'étudier ses sommes partielles à l'indice croissant . Et dans ce cas: (1) on n'écrit pas de virgules (,) mais de signes plus (+) entre ses premiers termes, ou utilise le signe sigma (Σ), et: (2) on utilise convergent et converger pour dire que la limite des sommes partielles de la suite en question existe (Cauchy 1821, Vessiot/Montel 1921). . . Sources: Cauchy, Vessiot/Montel, Bieberbach, Quadling, Keisler.

ou . . la version M (Article/Définitions, 16 mars 2024 à 22:53)
Pour certains auteurs une série est une suite (infinie) dont on se propose d'additionner les termes. . . Sources: Vessiot/Montel (partiellement), Marsden/Weinstein.

ou . . la version combinée VM (Article/Définitions, 16 mars 2024 à 18:46) .

@Fschwarzentruber, préférence:
@HB, préférence:
@Hesselp, préférence: V (ou VM) Hesselp (discuter) 24 mars 2024 à 20:46 (CET)
@Pierre Lescanne, préférence:
@Proz, préférence:
@Robert FERREOL, préférence:
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Hesselp (discuter) 24 mars 2024 à 20:42 (CET)